Investigacion de Operaciones

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

• IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

• PROGRAMACION LINEAL

Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

APLICACIONES:

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.

Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

Otros son:

• Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
• Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
  Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas.
• Solución de problemas de transporte.

• MINIMIZACION POR EL MÉTODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Esta es la forma estándar del modelo:
Función objetivo:
c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a:
a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bmx1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:
El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
Todas las restricciones son de igualdad.
Todas las variables son no negativas.
Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).
Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.
Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

• SUSTITUCION EN ECUACIONES

• METODO DUAL SIMPLEX

TEORIA DE LA DUALIDAD.

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.

DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL.

Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:


El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera:

1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.

2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.

3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.

4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de minimización tiene restricciones que.

5. Las variables en ambos casos son no negativas.

• ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA GRAN M

Pasar a la forma estándar el modelo matemático.
Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de holgura.
Se deben penalizar a las variables artificiales en la función objetivo asignándoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un número muy grande. ( En los modelos de Minimización la penalización para cada variable artificial se suma y en los de Maximización se restan).
En la función objetivo no deben aparecer variables básicas por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las "M" de las columnas de las artificiales).
Con la solución inicial artificial se aplica el método simplex de la forma acostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solución.

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3  950
2 X1 + 2 X2 +  410
X1 + + 2 X3  610
X1 , X2 , X3  0

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950
2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410
X1 + + 2 X3 + X6 = 610
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0
Solución básica actual:
X4 = 950 min í 950/4 , 410/2 , -ý
X5 = 410 min í 237.5 , 205 , -ý
X6 = 610
Solución básica actual:
X4 = 130 min í 130/2 , - , 610/2ý
X2 = 205 min í 65 , - , 305ý
X6 = 610
Solución básica actual:
X3 = 65 min í - , 205/0.5 , 480/2ý
X2 = 205 min í - , 410 , 240ý
X6 = 480
Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 20350
X2* = 85
X3* = 305
X5* = 240
X1* = X4* = X6* = 0
Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
Z = 4 (0) + 3 (85) + 50(305)
Z = 20350
Comprobación en las restricciones:
10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4
10(0) + 4( 85) + 2(305) + 0 = 950
2 X1 + 2 X2 + X5
2(0) + 2(85) + 240 = 410
X1 + 2 X3 + X6
+ 2(305) + 0 = 610

• EL MÉTODO DE ESQUINA NOROESTE
  

El método de esquina noroeste, costo mínimo y aproximación de Vogel son alternativas para encontrar una solución inicial factible. Esquina noroeste.

Este método es considera el más fácil. Es también considerado por ser el menos probable para dar una buena solución inicial y de “bajo costo” porque ignora la magnitud relativa de los costos Cij. Antes de describir el procedimiento, es necesario establecer que el número de variables básicas en cualquier solución básica de un problema de transporte es una menos de la que se espera. Normalmente, en los problemas de programación lineal, se tiene una variable básica para cada restricción. En los problemas de transporte con m recursos y n destinos el número de restricciones funcionales es m + n.

Sin embargo, el número de variables básicas = m + n - 1 Este procedimiento esta dado por los siguientes tres pasos:

1.- Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para envío.

2.- Efectuar el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste. Esta operación agotará completamente la disponibilidad de suministros en un origen o los requerimientos de demanda en un destino.

3.- Corrija los números de suministro y los requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regresar al paso 1.

• METODO DE TRANSPORTE

La programación lineal es una herramienta de modelos cuantitativos para manejar diferentes tipos de problemas y ayudar a la toma de decisiones.
El modelo de transporte por medio del cual un administrador debe determinar la mejor forma de como hacer llegar los productos de sus diversos almacenes a sus consumidores, con el fin de satisfacer de las clientes y a un costo mínimo. El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envio. El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta: 1.- Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2.- El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras.