Definición PERT

PERT:

(PERT).(Program evaluation and review technique). Conjunto de técnicas de revisión de evaluación de proyectos. Estas técnicas están basadas en un diagrama de flujo y en una estimación detallada de los tiempos empleados en el desarrollo de las distintas actividades asociadas en cierto proyecto.

Aplicaciones:

El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características:

• Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.
• Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.
• Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.
• Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorias, planeación de carreras universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc.

Una regla común para construir este tipo de redes es que dos nodos no pueden estar conectados directamente por mas de un arco. Las actividades ficticias también se pueden usar para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o más actividades concurrentes; en la Figura se ilustra estoEl único propósito de este arco es indicar que debe terminarse la colocación de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo 12.Una vez desarrollada la red la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad. Estas estimaciones para el ejemplo de la construcción de una casa de la figura 1. se muestran en la figura 2 con los números mas oscuros (en unidades de días de trabajo) que aparecen junto a los arcos. Estos tiempos se usan para calcular dos cantidades básicas para cada evento, a saber, su tiempo más próximo y su tiempo más lejano.El tiempo más próximo para un evento es el tiempo (estimado) en el que ocurrirá el evento si las actividades que lo proceden comienzan lo mas pronto posible.Los tiempos más próximos se obtienen al efectuar una pasada hacia delante a través de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia delante en el tiempo, hasta los eventos finales, para cada evento se hace un calculo del tiempo en el que ocurrirá cada uno, si cada evento procedente inmediato ocurre en su tiempo más próximo y cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado. La iniciación del proyecto se debe etiquetar con el tiempo 0. este proceso se muestra en la tabla para el ejemplo considerados. Los tiempos más próximos que se obtuvieron están registrados en la figura 2, con el primero de los dos números que se dan para cada nodo.El tiempo más lejano para un evento es él ultimo momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la terminación del proyecto mas allá de su tiempo más próximo.

Tabla 1. Calculo de los tiempos más próximos para el ejemplo de la construcción de una casa.
Evento
Evento inmediato Anterior
Tiempo Tiempo mas + de la próximo actividad
Tiempo = máximo más próximo

En este caso los tiempos más lejanos se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia atrás a través de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo hasta los iniciales. Para cada evento él calculo del tiempo final en el que puede ocurrir un evento de manera que los que le siguen ocurran en su tempo mas lejano, si cada actividad involucrada consume exactamente su tiempo estimado. Este proceso se ilustra en la tabla 2, en donde 44 días es el tiempo más próximo y el tiempo más lejano para la terminación del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos más lejanos para la terminación del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos mas lejanos que se obtuvieron se encuentran también en la figura 2 como el segundo numero que se da para cada nodo. Sea la actividad ( i , j ) la actividad que va del evento i al evento j en la red del proyecto.La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo más lejano y su tiempo más próximo.

DIFERENCIAS ENTRE LOS METODOS PERT Y CPM

La principal diferencia entre los métodos es la manera en que se realizan los estimativos de tiempo.

PERT

Probabilístico.
Considera que la variable de tiempo es una variable desconocida de la cual solo se tienen datos estimativos.
El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica.
Suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes, (una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.
Considera tres estimativos de tiempos: el más probable, tiempo optimista, tiempo pesimista.

CPM

Deterministico. Ya que considera que los tiempos de las actividades se conocen y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.
A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto,
se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.

Considera que las actividades son continuas e interdependientes, siguen un orden cronológico y ofrece parámetros del momento oportuno del inicio de la actividad.
Considera tiempos normales y acelerados de una determinada actividad, según la cantidad de recursos aplicados en la misma.

CPM (Critical Path Method)

Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM
Especifique las actividades individuales.
Determine la secuencia de esas actividades.
Dibuje un diagrama de la red.
Estime la época de la terminación para cada actividad.
Identifique la trayectoria crítica (la trayectoria más larga a través de la red)
Ponga al día el diagrama del CPM como progresa el proyecto.
Especifique las actividades individuales

ESPECIFIQUE LAS ACTIVIDADES INDIVIDUALES.

De la estructura de la interrupción del trabajo, un listado se puede hacer de todas las actividades en el proyecto. Este listado se puede utilizar como la base para agregar la información de la secuencia y de la duración en pasos más últimos.

DETERMINE LA SECUENCIA DE LAS ACTIVIDADES
Algunas actividades son dependientes en la terminación de otras. Un listado de los precursores inmediatos de cada actividad es útil para construir el diagrama de la red del CPM.

DIBUJE EL DIAGRAMA DE LA RED

Una vez que se hayan definido las actividades y el su ordenar, el diagrama del CPM puede ser dibujado. El CPM fue desarrollado originalmente como actividad en red del nodo (AON), pero algunos planificadores del proyecto prefieren especificar las actividades en los arcos.

ESTIME LA ÉPOCA DE LA TERMINACIÓN PARA CADA ACTIVIDAD.

El tiempo requerido para terminar cada actividad se puede estimar usando experiencia previa o las estimaciones de personas bien informadas. El CPM es un modelo determinista que no considera la variación en el tiempo de la terminación, tan solamente un número se utiliza para la estimación del tiempo de una actividad.

IDENTIFIQUE LA TRAYECTORIA CRÍTICA (LA TRAYECTORIA MÁS LARGA A TRAVÉS DE LA RED)

La trayectoria crítica es la trayectoria de la largo-duracio'n a través de la red. La significación de la trayectoria crítica es que las actividades que mienten en ella no se pueden retrasar sin delaying el proyecto. Debido a su impacto en el proyecto entero, el análisis de trayectoria crítica es un aspecto Importante del planeamiento del proyecto.
La trayectoria crítica puede ser identificada determinando los cuatro parámetros siguientes para cada actividad:
ES, Principio temprano.
EF, principio tardío.
LS, terminación temprana.
LF, terminación tardía.
La época floja para una actividad es el tiempo entre su hora de salida más temprana y más última, o entre su tiempo más temprano y más último del final. La holgura es la cantidad de tiempo que una actividad se puede retrasar más allá de su comienzo más temprano o final más temprano sin delaying el proyecto.
La trayectoria crítica es la trayectoria a través de la red del proyecto en la cual ningunas de las actividades tienen holgura, es decir, la trayectoria para la cual ES=LS y EF=LF para todas las actividades en la trayectoria. Retrasa en la trayectoria crítica retrasa el proyecto. Semejantemente, acelere el proyecto que es necesario reducir el tiempo total requerido para las actividades en la trayectoria crítica.

Pues progresa el proyecto, los tiempos reales de la terminación de la tarea serán sabidos y el diagrama de la red se puede poner al día para incluir esta información. Una trayectoria crítica nueva puede emerger, y los cambios estructurales se pueden realizar en la red si los requisitos del proyecto cambian.

LIMITACIONES DEL CPM

El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con incertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menos proyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y límites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad.

Investigacion de Operaciones

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

• IMPACTO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

• PROGRAMACION LINEAL

Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

APLICACIONES:

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución.

Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

Otros son:

• Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
• Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
  Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas.
• Solución de problemas de transporte.

• MINIMIZACION POR EL MÉTODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Esta es la forma estándar del modelo:
Función objetivo:
c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn
Sujeto a:
a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bmx1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:
El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.
Todas las restricciones son de igualdad.
Todas las variables son no negativas.
Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).
Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.
Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

• SUSTITUCION EN ECUACIONES

• METODO DUAL SIMPLEX

TEORIA DE LA DUALIDAD.

Cada problema de programación lineal tiene un segundo problema asociado con el. Uno se denomina primal y el otro dual. Los 2 poseen propiedades muy relacionadas, de tal manera que la solución óptima a un problema proporciona información completa sobre la solución óptima para el otro.

Las relaciones entre el primal y el dual se utilizan para reducir el esfuerzo de computo en ciertos problemas y para obtener información adicional sobre las variaciones en la solución óptima debidas a ciertos cambios en los coeficientes y en la formulación del problema. Esto se conoce como análisis de sensibilidad o post-optimidad.

DEFINICION DEL PROBLEMA DUAL.

Para poder elaborar el problema dual a partir del primal, este se debe presentar en su forma canónica de la siguiente forma:


El problema dual se puede obtener a partir del problema primal y viceversa de la siguiente manera:

1. Cada restricción de un problema corresponde a una variable en el otro.

2. Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son iguales a los coeficientes respectivos de la función objetivo en el otro.

3. Un problema busca maximizar y el otro minimizar.

4. El problema de maximización tiene restricciones que y el problema de minimización tiene restricciones que.

5. Las variables en ambos casos son no negativas.

• ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA GRAN M

Pasar a la forma estándar el modelo matemático.
Agregar variables artificiales en las ecuaciones que no tienen variables de holgura.
Se deben penalizar a las variables artificiales en la función objetivo asignándoles coeficientes positivos muy grandes. Sea M un número muy grande. ( En los modelos de Minimización la penalización para cada variable artificial se suma y en los de Maximización se restan).
En la función objetivo no deben aparecer variables básicas por lo que se hace necesario eliminar las variables artificiales de la F.O.(Quitar las "M" de las columnas de las artificiales).
Con la solución inicial artificial se aplica el método simplex de la forma acostumbrada generando las tablas necesarias para llegar a una solución.

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3  950
2 X1 + 2 X2 +  410
X1 + + 2 X3  610
X1 , X2 , X3  0

Max Z -40X1 - 60X2 - 50X3
s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950
2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410
X1 + + 2 X3 + X6 = 610
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0
Solución básica actual:
X4 = 950 min í 950/4 , 410/2 , -ý
X5 = 410 min í 237.5 , 205 , -ý
X6 = 610
Solución básica actual:
X4 = 130 min í 130/2 , - , 610/2ý
X2 = 205 min í 65 , - , 305ý
X6 = 610
Solución básica actual:
X3 = 65 min í - , 205/0.5 , 480/2ý
X2 = 205 min í - , 410 , 240ý
X6 = 480
Por lo tanto la solución óptima es:
Z* = 20350
X2* = 85
X3* = 305
X5* = 240
X1* = X4* = X6* = 0
Comprobación en la función objetivo:
Max Z = 40X1 + 60X2 + 50X3
Z = 4 (0) + 3 (85) + 50(305)
Z = 20350
Comprobación en las restricciones:
10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4
10(0) + 4( 85) + 2(305) + 0 = 950
2 X1 + 2 X2 + X5
2(0) + 2(85) + 240 = 410
X1 + 2 X3 + X6
+ 2(305) + 0 = 610

• EL MÉTODO DE ESQUINA NOROESTE
  

El método de esquina noroeste, costo mínimo y aproximación de Vogel son alternativas para encontrar una solución inicial factible. Esquina noroeste.

Este método es considera el más fácil. Es también considerado por ser el menos probable para dar una buena solución inicial y de “bajo costo” porque ignora la magnitud relativa de los costos Cij. Antes de describir el procedimiento, es necesario establecer que el número de variables básicas en cualquier solución básica de un problema de transporte es una menos de la que se espera. Normalmente, en los problemas de programación lineal, se tiene una variable básica para cada restricción. En los problemas de transporte con m recursos y n destinos el número de restricciones funcionales es m + n.

Sin embargo, el número de variables básicas = m + n - 1 Este procedimiento esta dado por los siguientes tres pasos:

1.- Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para envío.

2.- Efectuar el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste. Esta operación agotará completamente la disponibilidad de suministros en un origen o los requerimientos de demanda en un destino.

3.- Corrija los números de suministro y los requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regresar al paso 1.

• METODO DE TRANSPORTE

La programación lineal es una herramienta de modelos cuantitativos para manejar diferentes tipos de problemas y ayudar a la toma de decisiones.
El modelo de transporte por medio del cual un administrador debe determinar la mejor forma de como hacer llegar los productos de sus diversos almacenes a sus consumidores, con el fin de satisfacer de las clientes y a un costo mínimo. El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envio. El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Entre los datos del modelo se cuenta: 1.- Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2.- El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino. El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras.